Ipakita na ang isang polinomyal ay may zero sa labas yunit ng bilog

[Jone]

Ako suplado sa proving ang mga sumusunod:

Show na kung p (z) = z ^ a_n n-1 * z ^ n-1 ...A_0 ay isang polinomyal ng degree n ≥ 1 at | a_0 |> 1, at pagkatapos ay p (z) ay may hindi bababa sa isa sa zero sa labas ng mga yunit ng bilog.Abiso na ang mga nangungunang koepisyent a_n = 1.Mayroon ding isang pahiwatig na ibinigay: Isaalang-alang ang factored form ng p (z).

Ang problemang ito ay mula sa libro Fundamentals ng Pagtatasa ng mga kumplikadong Saff at Snider.

 

[doraemon]

Hello!

Ang iyong polynom degree ay n.Nangangahulugan ito na may naka-set
ng (pn, qn) ......(P1, q1) pares na maaaring factorize ang iyong polynom.

Tandaan: sa lahat ng mga sumusunod, pn ay mangangahulugang p sa index n,
pn-1 ay mangangahulugang p sa index n-1, at parehas para sa q.

Samakatuwid p (z) ay maaaring nakasulat:

p (z) = (pn z qn) * (pn-1 z qn-1) ......* (P2 z q2) * (P1 z q1)

Ang iyong isang ay 1, at ito rin ay ang produkto ng lahat ng pns:
isang pn = * pn-1 * pn-2 ...* p2 * P1 = 1

Katulad nito, a0 ay mas malaki kaysa sa 1, ngunit ito rin ay ang produkto ng lahat ng mga qns

a0 = qn * qn-1 * qn-2 ...* Q2 * q1> 1

Nb: kilala ko na ang mga purists ay simulan yelling kapag may mga = at <palatandaan
sa parehong linya ...

Ngayon kung gusto naming ipakita na mayroong hindi bababa sa isa sa zero out
ng mga yunit ng bilog, ito ay katumbas na upang ipakita na mayroon sa
kahit isang ranggo kung saan k | z |> 1, samakatuwid | qk | / | Pk |> 1, kaya doon
ay hindi bababa sa isa na kung saan ang ranggo k | qk |> | Pk |

Let's ipagpalagay na hindi ito ang kaso.Let's ipagpalagay na sa lahat ng mga ranks
kami ay qk <= Pk.

Sa kasong ito, ang mga produkto ng lahat ng mga qks ay mas mababa kaysa sa mga produkto sa lahat ng mga
ang pks.Ito ay nagpapakita na ang a0 samakatwid ay hindi maaaring maging mas malaki kaysa sa isang.

Ngunit sa simula sinabi namin na a0> 1 at isang = 1, kaya kami ay
tapusin na mayroong hindi bababa sa isa na kung saan ang ranggo k | qk |> | Pk |, samakatuwid
diyan ay isa ranggo k kung saan | qk | / | Pk |> 1.
Kaya diyan ay hindi bababa sa isang root sa labas ng unit circle.

That's it!

Dora.

Jone wrote:

Ako suplado sa proving ang mga sumusunod:Ipakita na kung p (z) = z ^ n a_n-1 * z ^ n-1 ...
A_0 ay isang polinomyal ng degree n ≥ 1 at | a_0 |> 1, at pagkatapos ay p (z) ay may hindi bababa sa isa sa zero sa labas ng mga yunit ng bilog.
Abiso na ang mga nangungunang koepisyent a_n = 1.
Mayroon ding isang pahiwatig na ibinigay: Isaalang-alang ang factored form ng p (z).Ang problemang ito ay mula sa libro Fundamentals ng Pagtatasa ng mga kumplikadong Saff at Snider.

 

[Jone]

Natagpuan ko ang isang tila simple na paraan:

p (z) = z ^ n a_n-1 * z ^ n-1 ...A0 = (z-z1 )*...*( z-zn) = z ^ n ...(-1) ^ N * z1 *...* zn
Kaya a0 = (-1) ^ n * z1 *...* zn at hindi na namin na | a0 | = | z1 *...* zn |> 1.Kung ang mga produkto ng mga zero ay mas malaki kaysa sa kalakhan 1, at pagkatapos ang lahat ng mga zero ay hindi maaring mas maliit kaysa 1, o, hindi bababa sa isa sa mga ito na kailangan upang maging mas malaki kaysa sa 1.